🍀線代筆記🍀

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🔴矩陣 🔵基本矩陣性質 。t(AB)=t(BA) 。d(AB)=d(A)d(B) 。(AB)ᵀ = BᵀAᵀ 。(AB) ⁻¹ = B ⁻¹A ⁻¹ 。d(A)、d(B) ≠ 0，不保證d(A + B) ≠ 0 。A、B可逆，不保證（A + B）可逆（常考） 。A或B不可逆，則（AB）不可逆 。A、B可逆，則（AB）可逆 。A,B為方陣，AB = I，則AB = BA（因d(A)d(B) = 1 ≠ 0，則A跟B互為反矩陣，反矩陣存在） 。基本列運算之後，行列式可能差負號 。adjA=I，n ≥ 2，則A= ±I 。逆針轉：A=C -S ，此為正交矩陣 S C 🔵實對稱 。任意方陣可拆為對稱與反對稱之和 。必為方陣 。對角線為實數或0，λ∈R，相異λ對應的x正交 。實對稱矩陣可正交對角化，對稱矩陣不保證 。對稱相乘不保證對稱（速推） (AB)ᵀ = BᵀAᵀ = BA ≠ (AB) 。A,B實對稱，若I-AB可逆，則I-BA可逆，則AB與BA具有相同特徵值。 。A為對稱，A²=0，則A=0 。A² 對稱，不保證A 對稱（ex:[0 0 ;1 0] 。adj(A)對稱，則A對稱 。adj(A)=det(A)•A⁻¹ 。adj(A)⁻¹=det(A)⁻¹•A 。det（adj(A)）=det(A)ⁿ⁻¹ 。adj（adj(A)）=det(A)ⁿ⁻² 🔵正定 。xᵀAx>0則為正定 。正定：λ>0的實對稱矩陣，可化為RRᵀ或LᵀL 。正定必對稱，對稱未必正定 。可逆：A ⁻¹仍為正定 。正定 + 正定 = 正定 。AᵀA為半正定。若A可逆，則為正定。 。正定則所有特質值>0，反之不成立 🔵正交 。Aᵀ = A⁻¹、AᵀA=AAᵀ=I 。幾何意義為旋轉矩陣 。正交相乘，仍為正交（速推） 。A⁻¹仍為正交（速推） 。正交矩陣：方陣的行向量為正交集 。正交矩陣：|λ| =1、|detA| =1 。正交：detA =±1；么正：|detA| =1 。正交矩陣必可對角化 。保內積：<Ax,Ay> = <x,y> 。保長：<Ax,Ax> = <x,x> 🔵投影 。正交投影矩陣：range(P)=W，null(P)=W' 。投影矩陣：B(BᵀB)⁻¹Bᵀ 。P = Pᵀ：實對稱矩陣（可正交對角化） 。P=P²=...（投影幾次都一樣） 。不可逆（用幾何思考） 。λ = 0、1（λ = —1、1為鏡射 🔵Householder 。H：正交、對稱 。H=I-uuᵀ，義為對u'的鏡射 🔵排列、基本矩陣 。PᵀP=PPᵀ=I 。Pⁿ =P，n=1.2.3... 🔵QR分解 。任何矩陣皆可分解 。A=QR，A為m*n，不代表A的行空間維度=m 🔵方程式的解 。Ax = b，A為m*n，A|b為增廣矩陣 1. rank(A) = rank(A|b) = k，則有解 （1）k=n，唯一解，b∈CS(A) （2）k<n，無窮多解，b∈CS(A)，有n-k個係數 2. rank(A) ≠ rank(A|b)，無解，b∉CS(A) 🌟 。Ax = b，A為m*n，方程式有解： 1. rank(A)=m 2. All of b∈CS(A)，即rank（Cs(A)）=m 3. m個方程，n個未知數 。Ax = b，A為n*n，方程式有唯一解： 1. rank(A)=n（m=n的特例） 2. b∈CS(A) 。Ax = 0，A為m*n，方程式有唯一零解： 1. rank(A)=n 。Ax = b，無解，則A不可逆，則A線性相依，則detA = 0，Ax = 0有不全為零的解，有∞多組解 。Ax = b唯一解，A為m*n：必為方陣，則A可逆，則A的零空間維度=0，則行獨立，則rank(A)=n 。方程式無解，則只有最佳解，最佳解必定存在，只是不一定可以用投影矩陣算。 。方程式通解的不定係數個數= nullity(A) 。沒有不定係數不一定唯一解，也可能無解 🔵比較 。可逆與可對角化無關 。可逆：detA ≠ 0 或 所有λ ≠ 0 。可對角化：有足夠的特徵向量 。正交：廣義的垂直，內積 = 0 。線獨：c₁x₁+...+cnxn=0，若c只有全為0才滿足，則稱x₁...xn彼此線性獨立。即其中至少存在某一個x可以用其他x表示。 。正交必線獨，線獨不保證正交 。orthogonal set：內積為零的集合，含0 。orthonormal set：單位長度的的正交集，沒0 。W是空間(subspace)，則W = (W')' 。W是集合(subset)，則W ⊆(W')' 。最簡列梯reduced row echelon form：唯一，未必可逆。 。列梯echelon form：不唯一 🔵rank 。線獨=可逆=滿秩=唯一解=detA ≠ 0 。若A可逆，則列相等於I 。rank（N(A)）=n - rank(A) 。rank（Cs(A)）=rank（Rs(A)）=rank(A) 🌟 。m*n矩陣，若行獨立，則m ≥ n （思考2*3、3*2） 。rank(AᵀA) = rank(A) 。rank(A) ≥ rank(AB) 。A為m*n，則rank(AᵀA) = rank(AAᵀ)，概念同SVD 🔵EVD：相似變換對角化（A=PDP ⁻¹） 。相似定義：存在可逆矩陣P，使得A=PBP ⁻¹ 。相似性質： （1）λ一樣（即det(A)、特性方程式一樣） （2）rank、trace一樣 。A,B相似，則f(A),f(B)相似，則tr,det,rank, nullity相同，反之不成立 。A可逆，則AB與BA相似，AB=BABB ⁻¹ 。A跟A⁻¹相似，則λ互為倒數 。特徵：Ax = λx，x ≠ 0，λ為實數 。一般對角化：A=PDP ⁻¹ 。正交對角化：A=PDP ᵀ 。f(A)x = f(λ)x，λ隨函數變化，特徵向量不變 。可對角化： 1. 具有相異λ 2. 具有相同λ，並且有足夠的x，幾何重數=代數重數 幾何重數=n-rank(A-λI)=相同λ對應的x個數 代數重數：相同λ出現的次數 。方陣：EVD，特徵向量不夠就用Jordan 。非方陣：SVD（可以處理任意矩陣） 。相異λ對應的x線性獨立 。實對稱矩陣的特徵值為實數，A = LDU，所以可以對角化 。A可對角化，A跟B特徵方程式相同，不代表B可對角化，僅能說明具有相同λ，x夠不夠則未知 。特徵向量∞多，但最多只有n個線性獨立的x 。廣義特徵向量不算特徵向量 。若A可逆，則A的非零λ個數 = rank(A) ex: A= 1 1 ，λ=0.0，rank(A)=1 -1 -1 。Nilpotent（零勢）：所有λ=0，A^(n-1) = O 。若A,B為對角矩陣，則AB=BA 。若A可正交對角化，則A=λ₁x₁x₁ᵀ+...λnxnxnᵀ A必須為方陣，λ為特徵值，x為特徵向量。 🔵映射 。射前LI，射後未必LI 。射前LD，射後必定LD 。T 可逆 ⇔ one to one且onto ⇔ nullity(T)=0 ⇔ dim(V)=dim(W)=rank(T) 。one to one：dim(V)≦dim(W)，nullity(T)=0 。onto ：dim(V)≧ dim(W)，rank(T)=dim(W) 。V to W，T為onto， 則range(T)=W、rank(T)=dim(W) nullity(T)=dim(V)-rank(T)=dim(V)-dim(W) 。T在不同基底下，所對應到的矩陣必定相似。 🔵空間 。向量空間：零向量、封閉性 。線、面、體 。基底：線性獨立的生成集向量，最小生成集、最大獨立集，不具唯一性，但是數量固定（維度 。維度：空間的LI基底個數 。one to one：一對一，rank（N(A)）= 0 。onto：多對一，rank(A)=n 。reflection(鏡射)：一對一、可逆 。若A線性獨立，則行空間線性獨立，則行空間不含零向量，則行空間不為向量空間 。A跟B的四子空間一樣，則A = B 。函數空間的基底要有無窮個元素。（傅立葉） 。V to W：dim(Ker)+dim(Range)=dim(V) 。Ker(A)=Ker(AᵀA) 。W是向量空間，V跟U是其子空間，則V∩U亦為W的子空間 。W是向量空間，V跟U是其子空間，V∪U為W子空間若且唯若V⊆W or U⊆W 。W1....Wn為V的子空間， 則W1+...+Wn也是V的子空間 。S1...Sn為W1....Wn的基底， 則span(所有S的聯集) = W1+...+Wn 。dim(W1+W2) = dim(W1)+dim(W2)-dim(W1∩W2) 。V=W1⊕W2， 1. 任意u∈V，則存在唯一一組：u=w1+w2 2. S1,S2分別為W1,W2基底， 則S1∪S2= V的基底 3. dim(W) = dim(W1⊕W2) = dim(W1)+dim(W2） 。S為V的子集合，則S⊆(S')' 。S為V的子空間，則S=(S')' 。(W1+W2)'=W1'∩W2' 。(W1∩W2)'=W1'+W2' 🔵內積 1. <aA+bB,C>=a<A,B>+b<A,B> 2. <A,A> ≥ 0